Operasi Pada Himpunan dan Hukum-Hukum Aljabar

Operasi Pada Himpunan dan Hukum-Hukum Aljabar
(Himpunan)

Yayuk Nur Khotimah 1, Saropah 2, Lailin Nurul Hidayah3
1,2)Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Malang
Jl. Gajayana no 50, Malang
Email: Lailin_enha@yahoo.com, Ocy_cute09@yahoo.com
Email: Haforas@rocketmail.com

ABSTRAK

Himpunan merupakan kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Dalam kehidupan ini, disadari ataupun tidak, kita tidak bisa menghilangkan istilah himpunan dari kehidupan ini. Oleh karenanya, penulis mengkaji istilah kecil namun memiliki arti sangat besar yakni himpunan. Dalam Al-Qur’an pun juga sangat jelas adanya himpunan atau kumpulan-kumpulan yang memiliki keterangan yang jelas. Tidak hanya satu atau dua ayat, di dalam Al-Qur’an terdapat banyak ayat yang menjelaskan tentang himpunan. Banyak ilmu yang membahas tentang konsep maupun aplikasi dari himpunan. Dalam ilmu matematika, dibahas sangat jelas masalah yang berkaitan tentang himpunan maupun hal-hal tentang himpunan. Baik hukum-hukum yang ada maupun adanya hukum yang perlu pembuktian serta tentang opersi yang ada dikumpas jelas dalam setiap materi yang berkaitan tentang himpunan. Aplikasi dari himpunan sendiri sangatlah kompleks dalam kehidupan ini jika kita mau menganalisisnya lebih mendalam, namun kadang kita tidak menyadari bahwa itu merupakan bagian dari himpunan. Seperti halnya dalam kehidupan adanya hukum-hukum yang mengikat, dalam himpunan juga terdapat hukum-hukum yang berkenaan dengan himpunan serta operasi yang ada dalam himpunan. Dan hukum-hukum tersebut dalam himpunan disebut sebagai hukum aljabar himpunan, dan jika operasi antar hinmpunan di dalam himpunan disebut sebagai operasi himpunan. Himpunan sangatlah indah jika kita mau mempelajarinya lebih dalam.

Kata kunci: Himpunan, Hukum Aljabar, Operasi Himpunan

ABSTRACT

Set is a collection of certain objects which are included in one unit with a clear statement. In this life, consciously or not, we can not eliminate term set this life. Therefore, the authors examine the meaning of the term small but has a very large: the set. In the Qur’an is also very clearly the existence of sets or groups who have a clear explanation. Not just one or two verses, the Qur’an there are many verses that describe the set. A lot of science related to the concept and application of the set. In mathematics, a very clear discussion about a set of related issues and matters concerning sets. No law or the laws that need to be verified and dikumpas opersi about which there is clear in all materials related to regulate. The application itself is very complex set of life if we want to learn to.

Keywords: Set, Algebra Law, Set Operations
Pendahuluan

Disadari ataupun tidak, himpunan selalu kita temui dalam berbagai bidang kehidupan. Tidak hanya ada di bidang ilmu matematika, himpunan menyeluruh ada dalam semua bidang ilmu. Konsep himpunan juga ada dalam Al-Qur’an, seperti pada surat Al-Fatir ayat 1 :
          •          •      
Artinya :segala puji bagi Allah Pencipta langit dan bumi, yang menjadikan Malaikat sebagai utusan-utusan (untuk mengurus berbagai macam urusan) yang mempunyai sayap, masing-masing (ada yang) dua, tiga dan empat. Allah menambahkan pada ciptaan-Nya apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.
Dalam surat ini telah dijelaskan sekelompok, segolongan atau sekumpulan makhluk yang disebut malaikat. Dalam kelompok malaikat tersebut terdapat kelompok malaikat yang mempunyai dua sayap, tiga sayap atau empat sayap. Bahkan sangat dimungkinkan terdapat kelompok malaikat yang mempunyai lebih dari empat sayap jika Allah menghendaki. Jadi dalam ayat tersebut terdapat tiga kelompok, yaitu :
Kelompok malaikat bersayap dua,
Kelompok malaikat bersayap tiga, dan
Kelompok malaikat bersayap empat.
Tiga kelompok malaikat tersebut syaratnya sangat jelas, meskipun malaikat sesuatu yang yang abstrak (obajek ghaib). Seandainya kita dapat melihat malaikat, maka dengan melihat jumlah sayapnya, kita dapat menentukan malaikat mana yang masuk kelompok malaikat bersayap dua, tiga atau empat.
Dalam firmana Allah surat An-Nuur ayat 45 :
  •   •   •     •     •          •      
Artinya :
Dalam dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan dari air, Maka sebagian dari hewan itu ada yang berjalan di atas perutnya dan sebagian berjalan dengan dua kaki sedang sebagian (yang lain) berjalan dengan empat kaki. Allah menciptakan apa yang dikehendaki-Nya, Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.
Dalam surat An-Nuur ayat 45 ini, telah dijelaskan sekimpulan, sekelompok atau segolongan makhluk yang disebut hewan. Hewan merupakan objek yang nyata (jelas). Dalam kelompok hewan tersebut ada sekelompok yang berjalan, tanpa kaki, dengan dua kaki, empat atau bahkan lebih sesuai yang dikehendaki oleh Allah. Jadi hewn dapat dibagi menjadi beberapa kelompok, yaitu :
Kelompok hewan tak berkaki,
Kelompok hewan berkaki dua,
Kelompok hewan berkaki empat, dan
Kelompok hewan berkaki lebih dari empat.
Dalam dua surat tersebut, terdapat konsep matematika yaitu kimpulan objek-objek yang memiliki ciri-ciri yang sangat jelas. Inilah dalam matematika yang dikatakan himpunan (set).
Sebagaimana manusia hidup di bumi yang memiliki aturan dan etika, himpunan pun juga memiliki aturan tersendiri dalam mengkombinasikan dengan himpunan lain, atau jika dalam dunia himpunan disebut sebagai hukum aljabar himpunan. Dan cara mengkombinasikan atau mengoperasikan himpunan juga memiliki istilah tersendiri yang disebut operasi dalam himpunan.

Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian library research atau kajian pustaka, yakni melakukan penelitian untuk memperoleh data-data dan informasi-informasi serta objek-objek yang digunakan dalam pembahasan masalah tersebut. Studi kepustakaan merupakan penampilan argumentasi penalaran keilmuan untuk memaparkan hasil oleh pikir mengenai suatu permasalahan atau topik kajian kepustakaan yang dibahas dalam penelitian ini.
Adapun langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti ini adalah sebagai berikut:
Mencari literatur utama yang di jadikan acuan dalam pembahasn ini. Literatur yang dimaksud adalah buku tentang himpunan.
Mengumpulkan sebagai literatur pendukung, baik yang bersumber dari buku, internet, jurnal dan lainnya yang berhubungan dengan permasalahan dengan permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian.
Memahami dan mempelajari operasi terhadap himpunan dan hukum-hukum aljabar himpunan.
Mengetahui hukum-hukum aljabar himpunan dengan membuktikan sifat-sifatnya dan memberi contoh.

Hasil dan Pembahasan

Himpunan (set) didefinisikan sebagai kumpulan atau seleksi objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined). Makna “objek” dalam definisi tersebut sangat luas. Objek dapat berupa objek nyata dan dapat juga berupa objek abstrak. Objek dapat berbentuk orang, nama orang, hewan, benda, bilangan, planet, nama hari, atau lainnya. Makna ”terdefinisi dengan jelas” adalah ciri, sifat, atau syarat objek yang dimaksud sangat jelas dan dapat ditentukan. [3] Dalam arti yang sederhana, dapat dikatakan bahwa jika kita diminta menunjukkan salah satu anggotanya, maka kita dapat menyebutkannya. Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut unsur atau anggota himpunan.
Untuk mempermudah pemahaman, berikut ini merupakan contoh himpunan:
kumpulan nama-nama hari dalam satu minggu
kumpulan huruf hijriyah
kumpulan hewan berkaki empat.
Sedangkan berikut ini bukan merupakan himpunan, meskipun menggunakan kata himpunan.
himpunan orang berambut pendek.
himpunan orang cantik.
himpunan buku tipis.
Pada contoh (1) sampai (3) ini, definisi pendek, cantik, tipis, gemuk, dan kecil tidak terdefinisikan dengan jelas atau tidak ada kriteria umum yang disepakati bersama.

Operasi terhadap himpunan

Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau beberapa unsure tertentu. Dalam operasi himpunana tedapat beberapa operasi diantaranya operasi uner, yaitu operasi yang dikenakan pada satu himpunan, seperti komplemen. Sedangkan operasi biner adalah operasi yang dikenakan pada dua himpunan, seperti gabungan, irisan, selisih, dan hasil kali cartesius.[4]
Gabungan (union)
Definisi : Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat kedua anggota himpunan A dan B.

Notasi : A∪B={x│x∈A atau x∈B} (1)

Gambar 1. Diagram ven untuk A∪B (daerah A∪B diarsir)
Contoh:
A = {1,3,5,7,9} ; B = {2,3,5,7} ; A∪B={1,2,3,5,7,9}
Dari definisi tersebut dapat diturunkan bebrapa sifat berikut:
A∪A=A
A∪∅=A
A∪S=S
A∪B=B∪A
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Irisan (intersection)
Definisi: Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotnya ada di A dan ada di B dengan kata lain himpunan yang anggotanya menjadi anggota himpunan A dan juga menjadi anggota himpunan B [1].

Notasi : A∩B={x│x∈A dan x∈B} (2)

Gambar 2. Diagram ven untuk A∩B (daerah A∩B diarsir)

Contoh:
A = {2,4,6,8,10} ; B = {2,3,4,5,6} ; A∩B = {2,4,6}

Dari definisi dapat diturunkan sifat-sifat berikut:
A∩A=A
A∩∅=∅
A∩S=A
A∩B=B∩A
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Selisih (difference)
Definisi : Selisih himpunan A dari himpunan B adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan A yang bukan menjadi anggota B .[1]

Notasi : A-B={x│x∈A ,x∈B}
Dan sebaliknya: B-A={x│x∈B,x∈A}

(3)

Contoh :
A = {1,3,5,7,9} ; B = {2,3,5,7} ; A-B = {1,9} dan B-A = {2}

Gambar 3.Diagram ven untuk A-B (daerah A-B diarsir)

Dari selisih diatas dapat diturunkan sifat-sifat:
A-B=∅ jika dan hanya jika A⊂B(A proper subset dari B)
A-B=B-A jika dan hanya jika A=B
jika A∩B=∅ maka A-B=A dan B-A=B
A-B= A∩B^c

Hasil kali (Cartesian product)
Definisi :Hasil kali kartesius dari nhimpunan A dan B adalah himpunan semua kemungkinan pasangan terurut 〈x,y〉 dengan x adalah anggota himpunan A dan y adalah anggota himpunan B [1].

Notasi : AxB={(a,b)│a⊂A ,dan b⊂B}
AxB={(a,b)│b∈A ,dan a∈A} (4)
catatan: pasangan terurut tidak berlaku terbalik

Contoh:
A={1,2,3} dan B = {p,q} maka
AxB={(1,p),(1,q),(2,p),(2,q),(3,p),(3,q)} & BxA={(p,1),(q,1),(p,2),(q,2),(p,3),(q,3)}
Catatan: (1,p)≠(p,1) begitu seterusnya

Dari definisi hasil kali maka diperoleh sifat-sifat sebagai berikut:
Jika A=∅ dan B=∅ maka AxB=∅
AxB=BxA jika dan hanya jika A=B
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)

Komplemen (complement)
Definisi: Komplemen dari himpunan A adalah himpunan semua anggota dari S yang tidak memuat anggota A atau yang bukan anggota A. komplemen dari himpunan A dilambangkan dengan A^c.[1]

Notasi: A^c={x│x∈S ,x∉A}
(5)

Gambar 4. Diagram ven untuk A^c(daerah A^cdiarsir)

Contoh:
S={1,2,3,…,10} dan A={2,3,5,7} maka A^c={1,4,6,8,9,10}

Dari definisi tersebut dapat diturunkan sifat-sifat :
〖(A^c)〗^c=A
∅^c=S
S^c=∅
〖(A∪B)〗^c=A^c∩B^c
〖(A∩B)〗^c=A^c∪B^c

Hukum-hukum aljabar Himpunan:

Beberapa sifat berlaku pada operasi antar dua himpunan atau lebih. Sifat-sifat tersebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan. Kesamaan tersebut dinamakan hukum yang menyatakan bahwa bila dua himpunan atau lebih dioperasikan, maka hukum-hukum yang mengatur operasi tersebut berlaku. Hukum-hukum aljabar himpunan diantaranya : [2]
Hukum Idempoten
A∪A=A ,A∩A=A
(6)

Hukum Komutatif
A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
(7)

Hukum Assosiatif
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (8)

Hukum Distributif
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) (9)

Hukum De Morgan
C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B)
C-(A∩B)=(C-A)∪(C-B) (10)

Hukum Identitas
A∪∅=A,A∩∅=∅,A∩(C-A)=∅
(11)

Bukti dari hukum-hukum aljabar Himpunan di atas:

Hukum Idempoten
A∪A=A ,A∩A=A
Bukti: A∪A=A
A∪A⊆A
Misal x∈A∪A
x∈A atau x∈A
Jadi, x∈A
A⊆A∪A
Misal x∈A
x∈A atau x∈A
Jadi x∈ A∪A
karena A∪A⊆A dan A⊆A∪A, maka A∪A=A
Untuk bukti A∩A=A analog dengan pembuktian A∪A=A.
Hukum Komutatif
A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
Bukti: A∪B=B∪A
A∪B⊆B∪A
Misal X∈(A∪B)
X∈A atau X∈B
X∈B atau X∈A
Jadi, X∈ B∪A
B∪A ⊆ A∪B
Misal X∈ B∪A
X∈B atau X∈A
X∈A atau X∈B
Jadi, X∈ A∪B
karena A∪B⊆B∪A dan B∪A ⊆ A∪B, maka A∪B=B∪A
Untuk bukti A∩B=B∩A analog dengan pembuktian A∪B=B∪A.
Hukum Assosiatif
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) , (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
Bukti: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∪B)∪C⊆A∪(B∪C)
Misal X∈(A∪B)∪C
X∈(A∪B) atau X∈C
X∈A atau X∈B atau X∈C
X∈A atau X∈(B∪C)
Jadi, X∈ A∪(B∪C)
A∪(B∪C)⊆(A∪B)∪C
Misal X∈A∪(B∪C)
X∈A atau X∈(B∪C)
X∈A atau X∈B atau X∈C
X∈(A∪B) atau X∈C
Jadi, X∈(A∪B)∪C
karena (A∪B)∪C⊆A∪(B∪C) dan A∪(B∪C)⊆(A∪B)∪C maka (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Untuk bukti (A∩B)∩C=A∩(B∩C) analog dengan pembuktian (A∪B)∪C=A∪(B∪C).

Hukum Distributif
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
Bukti:
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)
Misal x∈A∩(B∪C)
x∈A dan x∈(B∪C)
x∈A dan(x∈B atau x∈C)
x∈A dan x∈B atau x∈A dan x∈C
x∈(A∩B) atau x∈(A∩C)
jadi, x∈(A∩B)∪(A∩C)

(A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C)
Misal x∈(A∩B)∪(A∩C)
x∈(A∩B) atau x∈(A∩C)
x∈A dan x∈B atau x∈A dan x∈C
x∈A dan x∈B atau x∈C
x∈A dan x∈(B∪C)
jadi, x∈A∩(B∪C)
karena A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C) dan (A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C) maka A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
Untuk bukti A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) analog dengan pembuktian
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Hukum De Morgan
S-(A∪B)=(S-A)∩(S-B)
S-(A∩B)=(S-A)∪(S-B)
Bukti: S-(A∪B)=(S-A)∩(S-B)
S-(A∪B)⊆(S-A)∩(S-B)
Misal x∈(S-(A∪B))
Maka x∈S dan x∉(A∪B)
x∈S dan(x∉A dan x∉B)
x∈S dan x∉A dan x∈S dan x∉B
x∈(S-A) dan x∈(S-B)
jadi, x∈(S-A)∩(S-B)
(S-A)∩(S-B)⊆S-(A∪B)
Misal x∈(S-A)∩(S-B)
Maka x∈S dan x∉A dan x∈S dan x∉B
x∈S dan(x∉A dan x∉B)
x∈S dan x∉(A∪B)
jadi, x∈(S-(A∪B))
karena S-(A∪B)⊆(S-A)∩(S-B) dan (S-A)∩(S-B)⊆S-(A∪B) maka: S-(A∪B)=(S-A)∩(S-B)
Untuk bukti S-(A∩B)=(S-A)∪(S-B) analog dengan pembuktian
S-(A∪B)=(S-A)∩(S-B)

Hukum Identitas
A∪∅=A,A∩∅=∅,A∩(S-A)=∅
Bukti: A∩∅=∅
A∩∅⊆∅
Misal x∈(A∩∅)
berarti x∈A dan x∈∅
karena ∅ tidak mempunyai anggota, maka x=∅
jadi, x∈∅

∅⊆A∩∅
Karena setiap himpunan memiliki subset ∅ dan himpunan ∅ tidak memiliki anggota, dengan kata lain ∄x∈∅, maka anggota himpunan ∅=∅
sehingga ∅∈A dan ∅∈∅
akan tetapi misal ∅=x
maka x∈A dan x∈∅
jadi, x∈ A∩∅
Karena A∩∅⊆∅ dan ∅⊆A∩∅ maka A∪∅=A

Kesimpulan
Operasi merupakan suatu cara untuk memperoleh suatu himpunan baru dari beberapa himpunan tertentu. Operasi himpunan yang terdiri dari satu unsur dinamakan unsur uner, yakni seperti komplemen, begitu juga dengan operasi yang terdiri dari dua unsur dinamakan biner, yakni seperti pada gabungan, irisan selisih dan hasil kali.masing-masing operasi-operasi tersebut memiliki definisi-definisi yang akan menimbulkan beberapa sifat-sifat yang memperkuat dan dapat digunakan umtuk membuktikan teorema-teorema yang berhubungan.
Sedangkan dalam hukum aljabar himpunan membahas tentang beberapa sifat-sifat dan teorema-teorema yang dijadikan dasar untuk menyelesaikan permasalahan, maka dari itu untuk menguji kevalidan dari teorema-teorema dan sifat-sifat tersebut diperlukan pembuktian yang terbukti kebenarannya sehingga dapat digunakan dalam menyelesaikan masalh yang berkaitan dengan himpunan.

Daftar Pustaka

Irawan, Wahyu Hengki, 2003, Aljabar Abstrak, Universitas Islam Indonesia – Sudan (UIIS) Malang.

Munir, Rinaldi, 2005, Matematika Diskrit, Bandung : Informatika Bandung

Sukirman, 2005, Pengantar Aljabar Abstrak, Malang : Universitas Negeri Malang (UM Press)

Turmudzi , 2011, Pengantar Topologi, Universitas Islam Negeri Malang.
Pernyataan

Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.

Malang, 20 April 2011

Yayuk Nur Khotimah (08610011)
Saropah (08610012)
Lailin Nurul Hidayah (08610036)

About these ads

About lailintittut

q gak gampang putus asa...

Posted on Juni 29, 2011, in Uncategorized. Bookmark the permalink. 2 Komentar.

  1. coba berikan contoh dari masing-masing Hukum Idenpoten, Hukum Identitas, Hukum Komutatif, Hukum Distributif, Hukum De Morgan….???

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: